매트랩을 활용한 벡터의 내적과 외적

고등학교부터 벡터의 내적과 외적을 배웠었다.
학부때도 마찬가지인데, 기억도 흐릿하고 의미도 의심스럽다.
이번 기회에 다시 한번 공부도 할겸 정리해 보려고 한다.

1. 회전행렬을 이용한 막대 회전

x=[-.1 -.1 .1 .1]'; y=[-1 1 1 -1]'; box=fill(x,y,'r','erasemode','normal'); axis([-2 2 -2 2]);   for i=1:32 t=0.25*i/4; ts=t*pi; rot=[cos(ts)  -sin(ts); ...         sin(ts)  cos(ts)]; uc=rot*[x,y]'; ux=uc(1,:)'; uy=uc(2,:)'; set(box,'xdata',ux,'ydata',uy); % pause(1) drawnow end

회전행렬을 통해 삼각함수의 덧셈정리가 헷갈리지 않을 수 있다. 반대일 수도 있고,,,


2. 내적의 증명

BH²+AH²=AB²
a²-2ab·cosθ+b²cos²θ+b²sin²θ=c²
a²+b²(cos²θ+sin²θ)-2ab·cosθ=c²
a²+b²-2ab·cosθ=c

A(x₁,y₁,z₁) , B(x₂,y₂,z₂), O(0,0,0) 일때,
AB²=OA²+OB²-2|OA||OB|cosθ 에서
AB²=(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²+(z₁-z₂)²
OA²=x₁²+y₁²+z₁²
OB²=x₂²+y₂²+z₂²
대입하고 정리하면,
a·b=|OA||OB|cosθ=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂

이렇게 구하는 내적의 물리적 의미는
일정한 크기의 힘 F가 지면과 θ각도로 비스듬하게 물체에 작용하여 지면의 방향으로 d 만큼 이동시켰다면, 힘 F가 물체에 한 일은 W=Fcosθ·d 이다.


3. 외적의 증명

외적의 정의는 a×b=(|a||b|sinθ)v
v는 a와 b가 이루는 평면과 직교하는 단위벡터이다.

 

위와 같이 구해지는 외적은 기하학적으로 아래와 같이 의미가 일치한다.

따라서 주어진 벡터 a,b,c를 세변으로 갖는 평행육면체의 부피는 ? c·(a×b)


4. 내적, 외적을 이용하여 3점을 포함한 평면함수 구하기

p1=[1 0 0]; p2=[0 1 0]; p3=[0 0 1];   v=cross(p1-p3,p2-p3); s=dot(p1-p3,p2-p3);   c=v(1)*p1(1)+v(2)*p1(2)+v(3)*p1(3);  % v(1)*x+v(2)*y+v(3)*z=c t=c/(v(1)^2+v(2)^2+v(3)^2); t=v*t;   [x y]=meshgrid(-1:.1:1,-1:.1:1); z=(c-v(1)*x-v(2)*y)/v(3);   quiver3(0,0,0, v(1),v(2),v(3),'r') hold on surf(x,y,z) px=[0 p1(1) p2(1) p3(1) t(1)]; py=[0 p1(2) p2(2) p3(2) t(2)]; pz=[0 p1(3) p2(3) p3(3) t(3)]; xlabel('x') ylabel('y') plot3(px,py,pz,'o') hold off

5. 구좌표계에서 법선과 접선벡터 그리기

[x,y,z] = sphere(16); surf(x, y, z)  % sphere centered at origin hold on r=sqrt(x.^2+y.^2+z.^2); p=sqrt(x.^2+y.^2); th=atan(y./x); phi=atan(z./p); [TH,PHI,R] = cart2sph(x,y,z);   quiver3(x,y,z, x, y, z,'r') quiver3(x,y,z, -y./p,x./p,zeros(size(z)),'g') quiver3(x,y,z, (x./p).*z, (y./p).*z, -(y./p).*y-(x./p).*x, 'b')   hold off xlabel('x') ylabel('y') zlabel('z') colormap(gray)   for x = -10:1:10     campos([x,2,2])     drawnow;     pause(0.2) end

 

6. 발산의 정리

먼저 그린의 정리는 http://hypertimespace.tistory.com/119 를 참고하였다.
모두 엄밀한 증명은 아니고, 간략하고 특수한 경우를 바탕으로 감을 잡기가 목표이다.

이어서 가우스 발산정리는 아래와 같고,,,

 ds : 곡선에 대한 호의 길이 변화량 , dS : 곡면의 변화량, dA : 평면의 변화량

문제T가 x²+y²+z²=4 로 둘러싸인 영역일 때,
벡터장 F=[x,y,z]에 대해 가우스 발산의 정리 성립확인? 32π


7. 벡터의 라플라시안(∇²F)

∇×(∇×F)=∇(∇·F)-∇²F 을 매트랩으로 검증해 보자!

% DcDcF=DDdF-DDF syms P Q R; syms dx dy dz; F=[P Q R]; D=[1/dx 1/dy 1/dz]; DcF=cross(D, F) DcDcF=cross(D,cross(D, F))   DdF=D*F.'; DDdF=[DdF/dx; DdF/dy; DdF/dz;].' DF=D*[F; F; F] DDF=D.^2*[F; F; F] % DcDcF=DDdF-DDF

이제 맥스웰의 방정식과 전자기파 파동방정식을 이해하기 위한 기본적인 도구들은

다 준비가 된것 같다.